Juegos MCD

Aquí les dejo unos juegos que hice en educaplay =)


Una sopa de letras:



Sopa Divertida

Y un crucigrama:

Bibliografía - MCD

BIBLIOGRAFIA

       *       Cedillo Avalos, T. E., Cruz Oliva, V., Vega Ramírez, E., Díaz Barriga Casales, A., &
                Kieran, C. (2006). Máximo comun divisor.

       *       Luca, F. (2012). Aproximaciones Diofantinas.

       *       Domínguez, J. F., & Santonja, J. M. Las TIC como herramienta educativa en                           matemáticas.

     *    Valls, J., Linares, S., & Pascual, S. D. B. (2005). El análisis del desarrollo del esquema de divisibilidad en N. La construcción de un instrumento. Números, (60), 3-24.

        *       Lombraña, J. V. (2002). Leibniz y la lógica. Thémata: Revista de filosofía, (29),                      217-231.

        *       Ramellini, G. A. (1999). Algunos contenidos matemáticos con Logo. Suma:                            Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (32), 91-97.

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Clase 3 - MCD

Aplicaciones del Máximo Común Divisor

1.      Para simplificar fracciones.

El mcd se utiliza para simplificar fracciones.

Por ejemplo, para simplificar la fracción 48/60 se calcula primero el mcd(60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada 4/5.

2.      Para calcular el Mínimo Común Múltiplo.

El MCD también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números.

En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo.

n · m = mcd(n, m) · mcm(n, m)

Lo cual implica que

mcm(n, m) = ( n · m ) / mcd(n, m)

Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, que es 12, siendo su mínimo común múltiplo (48x60) / 12 = 240.

3.      Para la resolución de Ecuaciones Diofánticas.

El mcd y el algoritmo de Euclides se emplean en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas.

Para mayor comprensión aquí queda un video.

Clase 2 - MCD.

Propiedades del Máximo Común divisor

A continuación se verán algunos resultados muy interesantes que tiene el MCD.

1. Si  mcd(a, b) = d, entonces  mcd(a/d, b/d) = 1.

            Ejemplo:

            Tenemos que el mcd(6,10) = 2, entonces mcd(6/2, 10/2) = mcd(3, 5).

            Y como estos son primos relativos mcd(3, 5) = 1.

2. Si m es un entero, mcd(ma, mb) = |m| · mcd(a, b).

            Ejemplo:

Si m=2, y en el ejemplo anterior tenemos que mcd(3, 5) = 1, también sabemos que mcd[(2)(3), (2)(5)] = mcd(6,10) = 2, luego se cumple que

mcd(6,10) = |2| · mcd(3,5) = 2.

3. Si p es un número primo, entonces mcd(p, m) = p  o bien  mcd(p, m) = 1.

            Ejemplo:

            Para p=3.

·         Si p no divide a m, digamos para m=7.

mcd(3, 7) = 1, ya que son primos relativos.

·         Si p divide a m, digamos para m=9.

Por la Propiedad 2, tenemos que

mcd[(3)(1), (3)(3)] = mcd(3,9) = |3| · mcd(1,3) = (3)(1) = 3.

4. Si d´ es un divisor común de m y n, entonces d´ | mcd(m, n).

            Ejemplo:

            Tenemos que mcd(12,18) = 6, los divisores comunes de 6 y 10 son: 2, 3 y 6.

                Podemos ver que 2|3, 3|6 y 6|6.

5. Si m = nq + r , entonces mcd(m, n) = mcd(n, r).

            Ejemplo:

Sea m=15, podemos ver que por el Algoritmo de Euclides en la división por 4 el número 15 queda de la forma m=(4)(3)+3.

Ahora mcd(15,4)=1, ya que estos son primos relativos y mcd(4,3)=1, ya que también son primos relativos.

Entonces, vemos que mcd(15,4) = mcd(4,3)=1.

Aquí les dejo un video.

Clase 1 - MCD

Máximo Común Divisor (MCD)

Empezaremos con una definición preliminar.

Definición 1. (Divisibilidad)

Si a y b son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b. Observemos que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, únicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.

Ahora ya podemos definir en sí lo que es MCD.

Definición 2. (MCD)

Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:

1. d es divisor común de los números a y b y
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

Ejemplo:

12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

1    1  -  Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

 

Ejemplo:

Para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.

            48 | 2                           60 | 2

            24 | 2                           30 | 2

            12 | 2                           15 | 3

              6 | 2                             5 | 5

              3 | 3                             1 |

              1 |

  

            48 = 2⁴ ž 3                 60 = 2² ž 3 ž 5

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

mcd (48, 60) = 2² ž 3 = 12.

NOTA: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.

2 - Usando el algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.

Ejemplo:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

 

Aquí les dejo un video.