Clase 2 - MCD.

Propiedades del Máximo Común divisor

A continuación se verán algunos resultados muy interesantes que tiene el MCD.

1. Si  mcd(a, b) = d, entonces  mcd(a/d, b/d) = 1.

            Ejemplo:

            Tenemos que el mcd(6,10) = 2, entonces mcd(6/2, 10/2) = mcd(3, 5).

            Y como estos son primos relativos mcd(3, 5) = 1.

2. Si m es un entero, mcd(ma, mb) = |m| · mcd(a, b).

            Ejemplo:

Si m=2, y en el ejemplo anterior tenemos que mcd(3, 5) = 1, también sabemos que mcd[(2)(3), (2)(5)] = mcd(6,10) = 2, luego se cumple que

mcd(6,10) = |2| · mcd(3,5) = 2.

3. Si p es un número primo, entonces mcd(p, m) = p  o bien  mcd(p, m) = 1.

            Ejemplo:

            Para p=3.

·         Si p no divide a m, digamos para m=7.

mcd(3, 7) = 1, ya que son primos relativos.

·         Si p divide a m, digamos para m=9.

Por la Propiedad 2, tenemos que

mcd[(3)(1), (3)(3)] = mcd(3,9) = |3| · mcd(1,3) = (3)(1) = 3.

4. Si d´ es un divisor común de m y n, entonces d´ | mcd(m, n).

            Ejemplo:

            Tenemos que mcd(12,18) = 6, los divisores comunes de 6 y 10 son: 2, 3 y 6.

                Podemos ver que 2|3, 3|6 y 6|6.

5. Si m = nq + r , entonces mcd(m, n) = mcd(n, r).

            Ejemplo:

Sea m=15, podemos ver que por el Algoritmo de Euclides en la división por 4 el número 15 queda de la forma m=(4)(3)+3.

Ahora mcd(15,4)=1, ya que estos son primos relativos y mcd(4,3)=1, ya que también son primos relativos.

Entonces, vemos que mcd(15,4) = mcd(4,3)=1.

Aquí les dejo un video.