Clase 1 - MCD

Máximo Común Divisor (MCD)

Empezaremos con una definición preliminar.

Definición 1. (Divisibilidad)

Si a y b son números enteros distintos de cero y si el número c es de modo que c|a y a su vez c|b, a este número c se denomina divisor común de los números a y b. Observemos que dos números enteros cualesquiera tienen divisores comunes. Cuando existen, únicamente, como divisores comunes 1 y -1 de los números a y b, estos se llaman primos entre sí.

Ahora ya podemos definir en sí lo que es MCD.

Definición 2. (MCD)

Un número entero d se llama máximo común divisor (MCD) de los números a y b cuando:

1. d es divisor común de los números a y b y
2. d es divisible por cualquier otro divisor común de los números a y b.

Ejemplo:

12 es el mcd de 36 y 60. Pues 12|36 y 12|60; a su vez 12 es divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y -12 que son divisores comunes de 36 y 60.

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

1    1  -  Por descomposición en factores primos

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el MCD.

 

Ejemplo:

Para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos.

            48 | 2                           60 | 2

            24 | 2                           30 | 2

            12 | 2                           15 | 3

              6 | 2                             5 | 5

              3 | 3                             1 |

              1 |

  

            48 = 2⁴ ž 3                 60 = 2² ž 3 ž 5

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

mcd (48, 60) = 2² ž 3 = 12.

NOTA: En la práctica, este método solo es operativo para números pequeños tomando en general demasiado tiempo calcular la descomposición en factores primos de dos números cualquiera.

2 - Usando el algoritmo de Euclides

Un método más eficiente es el algoritmo de Euclides, que utiliza el algoritmo de la división junto al hecho que el MCD de dos números también divide al resto obtenido de dividir el mayor entre el más pequeño.

Ejemplo:

Si se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 y un resto de 12, el MCD será por tanto divisor de 12. Después se divide 48 entre 12 dando un resto de 0, lo que significa que 12 es el MCD. Formalmente puede describirse como:

 

Aquí les dejo un video.